Mengen#

Wenn x ein Element der Menge M ist, schreiben wir wenn x in M bzw. nicht in M ist. $x \in M$ oder $x \notin M$ Leere Menge enthält keine Elemente: $\emptyset$ oder ${}$

Nätürliche Zahlen#

$N = {1, 2, 3, . .}$ $N_{0} = {0, 1, 2, 3, . .}$ $N_{0}^{\leq k} = {0, 1, 2, 3, . . . k}$ Gleichungen der Form $a + x = b$ mit $a, b \in N$ lassen sich in der Menge der natürlichen Zahlen nicht lösen, falls $a > b$ ist.

Ganze Zahlen#

$Z = {. . ., - 2, - 1, 0, 1, 2, . . .}$ $Z^{+} = {1, 2, 3, . . .}$ $Z^{-} = {. . ., - 2, - 1}$ Gleichungen der Form $q * x = p$ mit $p, q \in Z$ sind in der Menge der ganzen Zahlen dann nicht mehr lösbar, wenn $q$ kein Teiler von $p$ ist.

Rationale Zahlen#

$Q = {\frac{p}{q} : p \in Z, q \in N}$ Durch Null darf nicht dividiert werden, d.h. $\frac{p}{0} \notin Q$ Bruchdarstellung: $\frac{p}{q} \in Q$ Dezimaldarstellung: Ausdividieren Zähler durch Nenner ergibt:

Abbrechende (endliche) Dezimalzahl: $\frac{- 1}{32} = - 0.03125$
Periodisch unendliche Dezimalzahl: $\frac{23}{99} = 0.232323 . . . = 0. \overset{―}{23}$

Geometrsiche Darstellung: Ein Punkt auf der Zahlengerade ![[Pasted image 20211015135734.png]]

Irrationale Zahlen#

Zahlen, die nicht rational sind, aber die sich als Dezimalzahl mit unendlich nicht periodisch vielen Nachkommastellen schreiben lassen, werden irrational genannt.

Example

$\sqrt{2}$ ist keine rationale Zahl, $\sqrt{2} \notin Q$ Beweis: Wir zeigen dies indirekt, durch die Annahme des Gegenteils. Annahme: $\sqrt{2} \in Q \Rightarrow \sqrt{2} = \frac{p}{q}$ wobei der Bruch gekürtzt ist, also p und q teilerfremd sind. Quadrieren: $2 = (\frac{p}{q})^{2} \Rightarrow 2 q^{2} = p^{2}$ das heisst p ist gerade und können $p = 2 * z$ mit $z \in Z$ ersetzen. $2 q^{2} = 4 z^{2} \Rightarrow q^{2} = 2 z^{2}$ das heisst q ist gerade. Also sind p und q gerade haben also den gemeinsamen Teiler 2, also ein Wiederspruch.

Reele Zahlen#

$R$ = Rationale und Irrationale Zahlen.

Intervalle#

Seien $a, b \in R$ mit $a < b$ . Abgeschlossenes Intervall: $[a, b] = {x \in R | a \leq x \leq b}$ also Inclusive. Offenes Intervall: $(a, b) = {x \in R | a < x < b}$ also Exclusive. Halboffene Intervalle: nur ein Randpunkt gehört zur Menge. z.B

Rechtsoffenes Intervall: $[a, b) = {x \in R | a \leq x < b}$

Das Intervall enthält $a$ , aber nicht $b$ .

Linkstsoffenes Intervall: $(a, b] = {x \in R | a < x \leq b}$

Das Intervall enthält $b$ , aber nicht $a$ .

Nach oben oder unten abgeschlossene Intervalle: $[a, + \infty) = {x \in R | a \leq x}$ $(a, + \infty) = {x \in R | a < x}$ $(- \infty, b] = {x \in R | x \leq b}$ $(- \infty, b) = {x \in R | x < b}$ $(- \infty, + \infty) = R$

Heron-Verfahren#

Iterationsverfahren um reelle Zahl durch eine rationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit annähern. Die Idee ist, dass ein Quadrat mit Flächeninhalt $B$ eine Seitenlänge von $\sqrt{B}$ hat.

Um $\sqrt{b}$ anzunähern, wählt man Näherungswert $a_{1}$ z.B für $\sqrt{5}$ kennen wir $\sqrt{4}$ also $a_{1} = 2$ . $ $a_{n} = \frac{1}{2} (a_{n - 1} + \frac{b}{a_{n - 1}})$ $

Betrag#

Der Betrag(Absolutwert) für $a \in R$ beträgt: $$|a|= max(a, -a)= \begin{dcases} a, a \geq 0 \ -a, a<0 \ \end{dcases} $$