Mengen#

Wenn x ein Element der Menge M ist, schreiben wir wenn x in M bzw. nicht in M ist. $x \in M$ oder $x \notin M$ Leere Menge enthält keine Elemente: $\emptyset$ oder $\{\}$

Nätürliche Zahlen#

$N = \{1,2,3,..\}$ $N_0 = \{0,1,2,3,..\}$ $N_0^{\leq k} = \{0,1,2,3,...k\}$ Gleichungen der Form $a + x = b$ mit $a,b \in N$ lassen sich in der Menge der natürlichen Zahlen nicht lösen, falls $a > b$ ist.

Ganze Zahlen#

$Z=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ $Z^+=\{1,2,3,...\}$ $Z^-=\{...,-2,-1\}$ Gleichungen der Form $q*x = p$ mit $p,q \in Z$ sind in der Menge der ganzen Zahlen dann nicht mehr lösbar, wenn $q$ kein Teiler von $p$ ist.

Rationale Zahlen#

$Q=\{{p \over q}:p\in Z, q\in N\}$ Durch Null darf nicht dividiert werden, d.h. ${p \over 0} \notin Q$ Bruchdarstellung: ${p \over q} \in Q$ Dezimaldarstellung: Ausdividieren Zähler durch Nenner ergibt:

Abbrechende (endliche) Dezimalzahl: ${-1 \over 32} = -0.03125$
Periodisch unendliche Dezimalzahl: ${23 \over 99} = 0.232323...=0.\overline{23}$

Geometrsiche Darstellung: Ein Punkt auf der Zahlengerade ![[Pasted image 20211015135734.png]]

Irrationale Zahlen#

Zahlen, die nicht rational sind, aber die sich als Dezimalzahl mit unendlich nicht periodisch vielen Nachkommastellen schreiben lassen, werden irrational genannt.

Example

$\sqrt2$ ist keine rationale Zahl, $\sqrt2 \notin Q$ Beweis: Wir zeigen dies indirekt, durch die Annahme des Gegenteils. Annahme: $\sqrt 2 \in Q \Rightarrow \sqrt 2 = {p \over q}$ wobei der Bruch gekürtzt ist, also p und q teilerfremd sind. Quadrieren: $2=({p \over q})^2 \Rightarrow 2q^2=p^2$ das heisst p ist gerade und können $p=2*z$ mit $z \in Z$ ersetzen. $2q^2 = 4z^2 \Rightarrow q^2=2z^2$ das heisst q ist gerade. Also sind p und q gerade haben also den gemeinsamen Teiler 2, also ein Wiederspruch.

Reele Zahlen#

$R$ = Rationale und Irrationale Zahlen.

Intervalle#

Seien $a,b \in R$ mit $a<b$. Abgeschlossenes Intervall: $[a,b] = \{x \in R \space|\space a\leq x \leq b\}$ also Inclusive. Offenes Intervall: $(a,b) = \{x \in R \space|\space a < x < b\}$ also Exclusive. Halboffene Intervalle: nur ein Randpunkt gehört zur Menge. z.B

Rechtsoffenes Intervall: $[a,b)=\{x\in R \space|\space a\leq x<b\}$

Das Intervall enthält $a$, aber nicht $b$.

Linkstsoffenes Intervall: $(a,b]=\{x\in R \space|\space a < x \leq b\}$

Das Intervall enthält $b$, aber nicht $a$.

Nach oben oder unten abgeschlossene Intervalle: $[a,+\infty )= \{x \in R \space|\space a \leq x\}$ $(a,+\infty )= \{x \in R \space|\space a < x\}$ $(-\infty,b]= \{x \in R \space|\space x \leq b\}$ $(-\infty,b)= \{x \in R \space|\space x < b\}$ $(-\infty,+\infty )= R$

Heron-Verfahren#

Iterationsverfahren um reelle Zahl durch eine rationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit annähern. Die Idee ist, dass ein Quadrat mit Flächeninhalt $B$ eine Seitenlänge von $\sqrt B$ hat.

Um $\sqrt b$ anzunähern, wählt man Näherungswert $a_1$ z.B für $\sqrt 5$ kennen wir $\sqrt 4$ also $a_1=2$. $\(a_n={1\over2}(a_{n-1}+{b\over a_{n-1}})$\)

Betrag#

Der Betrag(Absolutwert) für $a \in R$ beträgt: $$|a|= max(a, -a)= \begin{dcases} a, a \geq 0 \ -a, a<0 \ \end{dcases} $$