Folgen#

Reele Folge#

Ist eine Funktion \(a:N \mapsto R\), \(n \mapsto a_n\) Index = \(n\) Glieder = Die reelen Zahlen \(a_n\) Jedem Index \(n\) wird eine reele Zahl (Folgenglied) \(a_n\) zugeordnet. Aufzählende Darstellung: Alle Folgenglieder der Reihe nach. \(a_1, a_2,a_3, ...\) Explite Darstellung: Ein Bildungsgesetz welches ein Term mit \(n\) ist.

$a_n={n-1 \over n}$
$a_1=0, a_2={1\over2}, a_3={2\over3}, ...$

Rekursive Darstellung Eine Rechenvorschrift, wie aus den vorangegangenen Folgegliedern das n-te Folgeglied berechnet werden kann. Bei rekursiver Folgen ist k-te Ordnung das tiefste \(a_{n-k}\) in der Rechenvorschrift. Es müssen bis \(a_k\) schon vorgegben werden.

**Heronverfahren**
$a_1$ = Näherungswert für $\sqrt b$

$$a_n={1\over2}(a_{n-1}+{b\over a_{n-1}})$$
ist durch eine rekursive Darstellung 1. Ordnung beschrieben.

**Fibonacci-Folge**
$a_1 = 1, a_2=1$

$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$
ist durch eine rekursive Darstellung 2. Ordnung beschrieben.

Eigenschaften von Folgen#

Monotonie#

Eine Folge \(a_n\) heisst Monoton wachsend, falls für alle Folgenglieder gilt \(a_n \leq a_{n+1}\) Strng Monoton wachsend, falls für alle Folgenglieder gilt \(a_n < a_{n+1}\) Monoton fallend, falls für alle Folgenglieder gilt \(a_n \geq a_{n+1}\) Strng Monoton fallend, falls für alle Folgenglieder gilt \(a_n > a_{n+1}\)

$a_n=n^2$ ist streng monoton wachsend.
$b_n={1\over n}$ ist streng monoton fallend.
$c_n=(-1)^n$ ist weder monoton fallend not wachsend.
$d_n=1$ ist monoton wachsend und fallend aber nicht streng.

Untersuchung#

Für die Untersuchung der Monotonie werden oft Ausdrücke der Form \(a_{n+1}-a_n\) oder \({a_{n+1} \over a_n} > 1\) betrachtet.

Z.b wenn \(a_{n+1} - a_n < 0\) (eigentlich \(a_{n+1}<a_n\)) gilt, ist die Folge streng monoton fallend. \(a_{n+1} - a_n \leq 0\) wäre nur monoton fallend.

Zeig das die Folge $a_n={2^{n+1}\over 3^n}$ streng monoton fallend ist.
1. Es muss gelten: $a_{n+1} - a_n < 0 \iff a_{n+1}<a_n$
a. Gleichnamig machen: ${2^{n+1}\over 3^n} - {2^{n+2} \over 3^{n+1}} = {3*2^{n+1}\over 3*3^n}   - {2*2^{n+1} \over 3^{n+1}}$ 
b. Vereinfachen: $(3-2)*2^{n+1} \over 3^{n+1}$
c. $({2\over 3})^{n+1}>0$
2. Oder es muss gelten: ${a_{n+1} \over a_n} > 1$
a. ${{2^{n+1}\over 3^n}\over {2^{n+2} \over 3^{n+1}}} = {{2^{n+1}\over 3^n} *{3^{n+1} \over 2^{n+2}}}$
b. Kürzen: ${{2^{n+1}\over 3^n} *{3*3^{n} \over 2*2^{n+1}}}={3\over 2} > 1$

Berschränktheit#

Eine Folge \(a_n\) heisst Nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl \(S\) gibt, so dass \(a_n \leq S\) für alle \(n \in N\) gilt. \(S\) heisst eine obere Schranke der Folge. Nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl \(s\) gibt, so dass \(a_n \geq s\) für alle \(n \in N\) gilt. \(s\) heisst eine untere Schranke der Folge.

Hat eine Folge eine obere und untere Schranke ist sie eine beschränkte Folge.

$a_n=-2n^2+4 = 2,-4,-14,-28,...$ nach oben Beschränkt mit $S=2$
$a_n=n-5 = -5,-4,-3,...$ nach unten Beschränkt mit $s=5$
$a_n=(-1)^n = -1,1,-1,1,...$ Beschränkt mit $s=1$ und $S=1$
$a_n=(-1)^n *n^2= -1,4,-9,16,...$ weder nach oben noch nach unten

Konvergenz#

Für $a_n={2n+3 \over n}$

| $a_1$ | $a_2$ | $a_3$ | $a_{10}$ | $a_{1000}$ | $a_{100000}$ |
| ----- | ----- | ----- | -------- | ---------- | ------------ |
| 5     | 3.5   | 3     | 2.3      | 2.003      | 2.00003      |
**Sprechweise**:
Die Folge $a_n$ strebt mit wachsendem $n$ gegen den Grenzwert 2.
**Schreibweise**:
$$\lim_{x \to \infty} {2n+3 \over n} = 2$$
Wird gelesen als "Limes von ${2n+3 \over n}$ für n gegen unendlich ist 2."

\(\varepsilon\)-Umgebung#

\(\varepsilon\)-Umgebung oder \(\varepsilon\)-Streifen ist ein Streifen mit einem Radius \(\varepsilon\) um den vermuteten Grenzwert. Der Index des Folgengliedes, welches als erstes im Streifen liegt, nennt man Eintauchzahl, \(N_{\varepsilon}\).

$a_n={2n+3 \over n}$ mit Streifen $\varepsilon = {1\over 2}$
![[Pasted image 20211016100108.png]]
Ist die Eintauchszahl $N_{1\over 2} = 7$, weil $a_6$ liegt auf dem Streifenrand, $a_7$ jedoch darin.

Definition#

Eine Folge \(a_n\) konvergiert gegen einen Grenzwert \(g \in R\) wenn es zu jeder noch so kleinen Zahl \(\varepsilon >0\) eine Zahl \(N_{\varepsilon}\) gibt, so dass \(|a_n -g| < \varepsilon\) für alle \(n \geq N_{\varepsilon}\).

Eine Folge die einen Grenzwert \(g \in R\) besitzt, heisst konvergent. Achtung \(\infty \notin R\)!!!!! Eine Folge die keinen Grenzwert besitzt, heisst divergent.

Jede monoton wachsende (bzw. fallende) Folge, die beschränkt ist, ist immer konvergent.
Das Produkt einer beschränkten Folge und einer Nullfolge ist immer eine Nullfolge.

Untersuchen#

$a_n={n-1 \over n+2}$ vermuteter Grenzwert $g=1$
$|a_n-g|=|{n-1\over n+2}-1| < \varepsilon$
$\Rightarrow |{n-1\over n+2}-{n+2\over n+2}| < \varepsilon$
$\Rightarrow |{-3\over n+2}|={|-3|\over|n+2|} < \varepsilon$
$\Rightarrow {3\over n+2} < \varepsilon$
$\Rightarrow {3\over \varepsilon} -2< n$

Für $\varepsilon = 0.2$ erhält man $n>{3\over 0.2} -2 = 13$ daher ab $a_14$ beträgt Differenz von Folgenglied und Grenzwert weniger als $\varepsilon$
$N_{0.2}=14$

Spezielle Folgen#

Nullfolge eine Folge die den Grenzwert 0 besitzt. Harmonische Folge \(a_n={1\over n}\) ist eine Nullfolge

Geometrsiche Folge#

Folgen der Form: \(a_n= a_1 * q^{n-1}\) sind geometrische Folgen. Jedes Glied ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder \(a_n=\sqrt {a_{n-1}+a_{n+1}}\) ### Konvergenzkriterien für geometrische Folgen Eine geometrische Folge \(a_n= a_1 * q^{n-1}\) - mit \(|q|>1\) ist divergent - mit \(|q|<1\) ist konvergent mit Grenzwert 0 - mit \(q=1\) ist eine konstante Folge \(a_1\) - mit \(q=-1\) ist divergent, da alternierend.

Rechenregeln konvergente Folgen#

Sind \(a_n\) und \(b_n\) konvergente Folgen mit den Grenzwerten \(a\) bzw. \(b\), so ist auch die Folge: - \(c*a_n\) konvergent mit \(\lim_{n \to \infty} {c*a_n} = c*\lim_{n \to \infty} {a_n} = c*a\) für \(c \in R\) - \(a_n \pm b_n\) konvergent mit \(\lim_{n \to \infty}{a_n \pm b_n}={{\lim_{n \to \infty}{a_n}} \pm {\lim_{n \to \infty}{b_n}}}={a \pm b}\) - \(a_n * b_n\) konvergent mit \(\lim_{n \to \infty}{a_n * b_n}={{\lim_{n \to \infty}{a_n}} * {\lim_{n \to \infty}{b_n}}}={a * b}\) - \(a_n \over b_n\) konvergent mit \(\lim_{n \to \infty}{a_n \over b_n}={{\lim_{n \to \infty}{a_n}} \over {\lim_{n \to \infty}{b_n}}}={a \over b}\) falls \(b \neq 0\)

Verwendung#

![[Pasted image 20211016105256.png]]
![[Pasted image 20211016105316.png]]

Rationale Folgen#

Für eine rationale Folge, die im Zähler aus einem Polynom k-ten Grades und im Nenner aus einem Polynom l-ten Grades besteht, gilt: \(\(\lim_{n \to \infty}{{a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+...+a_0}\over{b_ln^l+b_{l-1}n^{l-1}+...+b_0}} = \begin{dcases} {a_k\over b_k} *\infty, falls\space k >l \\ {a_k\over b_k} , falls\space k=l \\ 0 , falls\space k<l \end{dcases}\)\)

![[Pasted image 20211019190820.png]]