Funktionen#

Eine Funktion \(f\) ordner jedem Element x einer Defintionsmenge(auch Definitionsbereich genannt) \(D\) genau ein element \(y\) einer Wertemenge(Wertebereich) zu.

Schreibweise: \(f: D \mapsto W, x\mapsto y\)

Für das dem Element \(x \in D\) zugeordnete Element der Wertemenge schreibt man im Allgemeinen \(f(x)\).

## Reele Funktion Unter einer reellen Funktion \(f\) versteht man die Abbildung, die jedem \(x \in D\) mit \(D \subseteq R\) genau eine reelle Zahl \(y\) aus einer Wertemenge \(W\) zuordnet: \(\(f:x\mapsto y=f(x), D \subseteq R \mapsto W \subseteq R\)\)

Funktionseigenschaften#

Nullstelle#

Eine Funktion \(f\) besitzt eine Nullstelle in \(x_0\), falls \(f(x_0) = 0\) gilt. Der Funktionsgraph schneidet die x-Achse in einer Nullstelle der Funktion.

Gerade#

Eine Funktion heisst gerade, falls \(f(x) = f(−x)\) für alle \(x\in D\) gilt. Der Funktionsgraph einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur y−Achse.

Die Funktion $f(x)=x^2$ ist gerade.

![[Pasted image 20211023194043.png]]

Ungerade#

Eine Funktion heißt ungerade, falls \(f(−x) = −f(x)\) für alle \(x\in D\) gilt. Der Funktionsgraph einer ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Die Funktion $f(x)=x^3$ ist ungerade.

![[Pasted image 20211023194141.png]]

Polynomfunktion#

Eine Funktion \(f: R \mapsto R\) der Form: \(\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)\) mit \(a_n \neq 0\) heisst Polynom vom Grad \(n\). Die reelen Zahlen \(a_0,a_1,...,a_n\) heissen Koeffizienten der Polynoms.

$f_1(x)=x^3-x+2$ ist ein Polynom 3. Grades.
$f_2(x)=2x^7-4x^5+x^2-3x+2$ ist ein Polynom 7. Grades.

Linearfaktoren#

Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Polynoms \(n\)-ten Grades von \(f\), dann wäre ein Linearfaktor von \(f\): \(\(f(x)=(x-x_0)(b_nx^{n-1}+..+b_2x+b_1)\)\)

Jedes Polynom \(n\)-ten Grades hat höchstes n verschiedene Nullstellen. Besitzt ein Polynom \(n\)-ten Grades \(n\) Nullstellen \(x_1,x_2,..x_n\) dann lässt es sich als Produkt aus \(n\) Linearfaktoren darstellen: \(\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{n-1})(x-x_n)\)\)

Zerlegung in Linearfaktoren#

Die Abspaltung eines Linearfaktors erreicht man am besten mit Polynomdivision.

$f(x)=x^3-7x^2-10x+16$
Durch einsetzen, dass $x_1 = {\color{Red}1}$ eine Nullstelle des Polynoms d.h. $f(1) = 0$

$(x^3-7x^2-10x+16) : (x-{\color{Red}1})=x^2-6x-16$
$\underline{-(x^3-x^2)}$
$\quad -6x^2-10x$
$\quad \underline{-(-6x^2+6x)}$
$\quad \quad -16x+16$
$\quad\quad \underline{-(-16x+16)}$
$\quad\quad\quad0$

Wir erhalten dadurch: $f(x)=(x-1)(x^2-6x-16)$. 
$(x^2-6x-16)$ kann dann weiter mit der Polynomdivision zerteilen um die weiteren Linearfaktoren zu erhalten.

$f(x)=x^3-7x^2-10x+16=(x-1)(x+2)(x-8)$

Rationale Funktion#

Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von zwei [[#Polynomfunktion]] \(g(x)\) und \(h(x)\) darstellen lässt. \(\(f(x)={g(x) \over h(x)}={{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0}\over {b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0}}\)\)

Ein [[#Polynomfunktion]] ist eine rationale Funktion wo \(n=0\).

Echt rationale Funktionen:#

Wenn \(m<n\)

Unecht rationale Funktionen:#

Wenn \(m \geq n\)

Eigenschaften#

Sei \(f(x) = g(x)\overh(x)\) eine rationale Funktion. Mit Zähler und Nenner soweit möglich in Linearfaktoren zerteilt und gemeinsame Linearfaktoren gekürtzt

Nullstellen#

Die im Zähler(\(g(x)\)) verbleibenden Linearfaktoren ergeben die Nullstellen der Funktion \(f(x)\).

Polstellen#

Die im Nenner (\(h(x)\))verbleibenden Linearfaktoren ergeben die Polstellen der Funktion \(f(x)\).

Pollstelle \(k\)-ter Ordnung#

Ist Linearfaktor im gekürzten Nenner in \(k\)-ter Ordnung \((x − x_0)^k, k \in N\) dann nennt man die Stelle \(x_0\) eine Polstelle \(k\)−ter Ordnung.

Pollstelle mit Vorzeichenwechsel#

Es sei \(x_0\) eine Pollstelle \(k\)-ter Odnung. - Ist \(k\) gerade, so handelt es sich um eine Pollstelle ohne Vorzeichenwechsel. - Ist \(k\) ungerade, so handelt es sich um eine Pollstelle mit Vorzeichenwechsel.

$f(x)={1 \over (x+1)}$ hat bei $x=-1$ eine Pollstelle mit Vorzeichenwechsel.
$f(x)={1 \over (x-1)^2}$ hat bei $x=1$ eine Pollstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Defintionslücken#

Vor dem kürzen sind die Nullstellen im Nenner(\(h(x)\)) für rationale Funktionen nicht definiert. Sie müssen explizit aus dem Definitionsbereich der Funktion herausgenommen werden, man spricht von Definitionslücken.

Hebbare Definitionslücken#

Die vollständig weggekürzten Linearfaktoren im Nenner geben die hebbaren Definitionslücken der Funktion \(f(x)\) an.

Verhalten rationale Funktionen im Unendlichen#

Genau gleich wie [[2-Folgen#Rationale Folgen]]. Sei \(f(x) = {g(x)\over h(x)}\) eine rationale Funktion, dann gilt für den Grenzwert: \(\(\lim_{n \to \infty}{f(x)} = \begin{dcases} 0, grad\space g < grad \space h \\ {a_n\over b_n} , grad \space g=grad \space h \\ {a_n\over b_n} * \infty , grad \space g > grad\space h \end{dcases}\)\)

Umkehrfunktion#

Eine Funktion \(f: x \mapsto y, D \mapsto W\) heisst umkehrbar, wenn aus \(x_1 \neq x_2\) stets folgt \(f(x_1)\neq f(x_2)\) Ist die Funktion umkehrbar, dann gibt es zu jedem \(y \in W\) genau ein \(x \ in D\) \(f^{-1}: y \mapsto f^{-1}(y)=f^{-1}(f(x))=x\) wird Umkehrfunktion genannt.

![[Pasted image 20211024113010.png]]

Potenzfunktion#

[[#Polynomfunktion]] der Form \(p: x \mapsto ax^n, R \mapsto R\) für \(a,n \in R\)![[Pasted image 20211024113631.png|300]] [[#Potenzfunktion]] haben [[#Wurzelfunktion]] als [[#Umkehrfunktion]] und umgekehrt.

$p(x) = x^2$ hat $p^{-1}(x)=\sqrt{x} = x^{1 \over 2}$
$p(x) = x^3$ hat $p^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} = x^{1 \over 3}$

Wurzelfunktion#

Die Funktion\(p^{-1}: x \mapsto\sqrt[n]{x}\) für n gerade \(R^+ \mapsto R^+\), für n ungerade \(R \mapsto R\) heisst \(n\)-te Wurzerlfunktion mit \(n \in N\).

Exponentialfunktion#

\(f: x \mapsto e^x\) mit \(e=2.71828...=\) Eulersche Zahl heisst Exponentialfunktion. ![[Pasted image 20211024114845.png]]

Rechenregeln der Exponentialfunktion#

\(e^0=1\)
\(e^{x+y}=e^x*e^y\)
\(e^{-x}=(e^x)^-1={1 \over e^x}\)
\(e^{nx}=(e^x)^n\)
\(e^{1 \over n}=\sqrt[n]{e}\)

Logarithmusfunktion#

Die [[#Umkehrfunktion]] zu [[#Exponentialfunktion]] wird natürliche Logarithmusfunktion genannt. \(f: x \mapto ln(x), R^+ \mapsto R\)

Rechenregeln der Logarithmusfunktion#

\(ln(1)=0\)
\(ln(x*y)=ln(x)+ln(y)\)
\(ln(x^n)= n*ln(x)\)
\(ln(e^x)=x ln(e) = x\) weil \(ln(e)=1\)

Trigonometrische Funktionen#

![[Pasted image 20211024151724.png|300]] ![[Pasted image 20211024151842.png|300]] ![[Pasted image 20211024151948.png|300]] Sinus- und Cosinusfunktion sind periodisch mit der Periode \(2\pi\), d.h. es gilt \(f(x)=f(x+k*2\pi), k \in Z\)

Die Funktionsgraphen von Sinus- und Cosinusfunktion sind kongruent. Durch Verschiebung um \(2\pi\) nach links, geht die Cosinus-Kurve aus der Sinus-Kurve hervor.

Trigonometrischer Pythagoras#

\[sin^2(a)+cos^2(a)=1\]

Sinus#

\(sin: x \mapsto sin(x), R \mapsto [-1,1]\)

Cosinus#

\(cos: x \mapsto cos(x), R \mapsto [-1,1]\)

Tangens#

Cotangens#

Grenzwert einer Funktion#

\(\(f(x)={1-x^3-cos(2x)}\over x^2\)\) ist für \(x=0\) nicht definiert, hier besteht eine Definitionslücke. Wir können den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\)zwar nicht berechnen, aber mit einer Folge \(x_n\) beliebig nahe an die Definitionslücke herantasten.

Rechtseitigen Grenzwert#

Die Folge \(x_n=1\over n\) für \(n \to \infty\) konvergiert gegen 0. Wir können somit die Folgenglieder in die Funktion einsetzen: ![[Pasted image 20211024101445.png]] Wir vermuten, dass die Funktionswerte gegen den Grenzwert 2 konvergieren. Es gilt also für jede beliebige Folge \(x_n \to 0\), dass \(f(x_n) \to 2\) gilt. Man schreibt daher: \(\(\lim_{n \to \infty}{f(x_n)}=\lim_{x \to \infty,(x>0)}{f(x)}=2\)\) und bezeichnet diesen Wert als den rechtseitigen Grenzwert der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=0\)

Linkseitigen Grenzwert#

Wir wollen nun eine Folge betrachten, die sich von links dem Wert 0 nähert. Z.B \(x_n=-1\over n\). Hier erhalten wie folgende Wertetabelle beim einsetzen: ![[Pasted image 20211024102226.png]] Aus der Wertetabelle entnehmen wir auch hier, dass die Folge der Funktionswerte \(f(x_n)\) gegen den Wert 2 konvergiert. Man schreibt daher: \(\(\lim_{n \to \infty}{f(x_n)}=\lim_{x \to \infty,(x<0)}{f(x)}=2\)\) und bezeichnet diesen Wert als den linkseitigen Grenzwert der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=0\)

Zusammenfassung Grenzwert einer Funktion#

Betrachtet man bei der Grenzwertbetrachtung einer Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) nur Zahlenfolgen \(x_n\), die kleinere Werte als \(x_0\) enthalten, dann bezeichnet man den Grenzwert als [[#Linkseitigen Grenzwert]] \(\(\lim_{x \to x_0,(x<x_0)}{f(x)}=\lim_{h \to 0,(h>0)}{f(x_0-h)}=G_L\)\) Zahlenfolgen mit grösseren Werten als \(x_0\) erzeugen den [[#Rechtseitigen Grenzwert]] \(\(\lim_{x \to x_0,(x>x_0)}{f(x)}=\lim_{h \to 0,(h>0)}{f(x_0+h)}=G_R\)\)

Streben für jede gegen \(x_0\) konvergente Zahlenfolge \(x_n\) die Funktionswerte \(f(x_n)\) gegen denselben Wert \(G\), dann besitzt die Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) den Grenzwert \(G\) \(\(\lim_{x \to x_0}{f(x)}=G=G_R=G_L\)\)

![[Pasted image 20211024103811.png]]
![[Pasted image 20211024103826.png]]

Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte#

Seien \(f\) und \(g\) zwei Funktionen mit dem gleichen Grenzwerten \(G,F\) bei \(x_0\) dann gilt: - \(\lim_{x \to x_0}{(f(x)\pm g(x))}=F\pm G\) - \(\lim_{x \to x_0}{(f(x)*g(x))}=F*G\) - \(\lim_{x \to x_0}{(f(x)\over g(x))}=F\over G\) für \(g(x_0) \neq 0\) und \(G \neq 0\)

Stetigkeit#

Eine Funktion heisst stetig, wenn ihr Graph kein Loch und keinen Sprung aufweist, d.h. wenn man beim Zeichnen ihres Graphen den Stift nicht absetzen muss.

Eine Funktion heisst an einer Stelle \(x = x_0\) stetig, wenn der Grenzwert von \(f(x)\) für \(x \to x_0\) existiert und mit dem Funktionswert an der Stelle \(x_0\) übereinstimmt: \(\(\lim_{x \to x_0}{f(x)}=f(x_0)\)\)

Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches \(D\) stetig ist, nennt man eine stetige Funktion (auf \(D\)).
Existiert der Grenzwert hingegen nicht oder ist er nicht gleich wie der Funktionswert, so ist die Funktion an dieser Stelle unstetig. ad-example ![[Pasted image 20211024104343.png]]

Hebbare Unstetigkeitsstelle#

Wenn bei einer Funktion f der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert existieren und gleich sind aber nicht mit dem Funktionswert \(f(x_0)\) übereinstimmen oder die funktion an \(x_0\) nicht definiert ist, dann kann man eine neue Funktion definieren, die an der Stelle \(x_0\) stetig ist. Die Stelle \(x_0\) heisst hebbare Unstetigkeitsstelle \(\(\hat{f}=\begin{dcases} f(x), x\neq x_0 \\ G, x=x_0 \end{dcases}\)\)

Stetige Funktionen#

[[#Polynomfunktion]] sind für \(R\) stetig.
Exponentialfunktionen \(f(x)=a^x, (a > 0, 1\neq 0)\) sind für \(R\) stetig.
Logarithmusfunktionen \(f(x)=log_a(x), (a > 0, 1\neq 0)\) sind für \(x>0\) stetig.
Trigonometrsiche Funktionen \(cos(x), sin(x)\) sind für \(R\) stetig.
Hyperbelfunktionen \(sinh(x), cosh(x), tanh(x))\)sind für R stetig.

Rechenregeln für Stetige Funktionen#

Sind die Funktionen \(f\) und \(g\) auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig, insbesonders an der Stelle \(x_0\) gilt: - \(f \pm g\) ist ebenfalls stetig in \(x_0\) - \(f * g\) ist ebenfalls stetig in \(x_0\) - \(f \over g\) ist ebenfalls stetig in \(x_0\), falls \(g(x_0) \neq 0\) - Die Komposition von \(f \circ g\) ist ebenfalls an der Stelle \(x_0\) stetig

Steigung#

Die allgemeine Geradengleichung lautet: \(\(g(x)=m*(x-x_0)+y_0\)\) \(m\) ist dann die Steigung der Geraden.

Sekante - Differenzenquotient#

Eine Gerade durch 2 Punkte \(P_0(x_0/f(x_0))\) und \(P_1(x_1/f(x_1))\) heisst Sekante. Die Steigung der Sekante wird Differenzenquotient genannt. \(\(m={\Delta f \over \Delta x }={{f(x1)-f(x_0)} \over {x_1-x_0}}={f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)\over \Delta x}\)\) Gleichung der Sekante lautet: \(g(x)=m*(x-x_0)+f(x_0)\) ![[Pasted image 20211024153819.png]]

Tangente - Differenzialkoeffizient#

Eine Tangente einer Funktion \(f\) im Punkt \(x_0\) ist eine Gerade durch einen Punkt \(P(x_0/f(x_0))\). Der Grenzwert des [[#Sekante - Differenzenquotient]] wird als Differnzialkoeffizient, dafür gibt es verschiedende Schreibweisen:

\[f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to x_0}{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)\over \Delta x}=\lim_{\Delta x \to x_0}{\Delta f \over \Delta x}={df \over dx}=\lim_{h \to x_0}{{f(x+h)-f(x)}\over h}\]

Gleichung der Tangente lautet: \(g(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)\)

Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten dann nennt man die Funktion differenzierbar an der Stelle \(x_0\). Der Grenzwert wird als Ableitung der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\).

![[Pasted image 20211024155332.png]]

Ableitungsfunktion#

Die Funktion \(f': x \mapsto f'(x)\) heisst die Ableitungsfunktion von \(f(x)\) oder kurz Ableitung von \(f()x\). Die Ableitungsfunktion ordnet jedem Wert x die Steigung der Tangente an der Stelle x zu.

Höhere Ableitung#

Exisitiert zu einer Funktion \(f\) Ableitung \(f'\) und ist \(f'(x)\) wieder differenzierbar, so bezeichnet man deren Ableitung als zweite Ableitung \(f''(x)\). Es gilt also \(f''=(f')'\) Die \(n\)-te Ableitung für \(n>3\) schreibt man \(f^{(n)}\), die Funktion ist dann \(n\)-mal differenzierbar.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit#

Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig und hat an allen Stellen eine eindeutige Steigung.
Ist eine Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) nicht stetig, dann ist sie dort auch nicht differenzierbar.