Ableitungsregeln#

Konstantenregel#

Die Ableitung einer Konstanten ist 0. \($f(x)=C\Rightarrow f^{\prime }(x)=0,C\in R$\)

Faktorregel#

Beim Ableiten einer Funktion, bleibt ein konstanter Faktor $k\in R$ vor einer Funktion unverändert erhalten. \($g(x)=k\ast f(x)\Rightarrow g^{\prime }(x)=k\ast f^{\prime }(x)$\)

Ableitungen der trigonometrischen Funktionen#

• $f(x)=sin(x)\Rightarrow f^{\prime }(x)=cos(x)$
• $f(x)=cos(x)\Rightarrow f^{\prime }(x)=-sin(x)$
• $f(x)=tan(x)\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{1}{co{s}^2(x)}=1+ta{n}^2(x)$ für $x\ne (2k+1)\frac{\pi }{2}$
• $f(x)=cot(x)\Rightarrow f^{\prime }(x)=-\frac{1}{si{n}^2(x)}=-1-co{t}^2(x)$ für $x\ne k\pi$

Potenzregel#

Die [[4-Funktionen#Potenzfunktion]] $f(x)=x^n$ ist für alle $x\in R$ differenzierbar. \($f(x)=x^n\Rightarrow f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1},n\in Z$\)

![[Pasted image 20211024162633.png]]

Summenregel#

Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen. \($s(x)=f(x)\pm g(x)\Rightarrow s^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$\)

![[Pasted image 20211024162805.png]]

Produktregel#

\($f(x)=u(x)\ast v(x)\Rightarrow f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\ast v(x)+u(x)\ast v^{\prime }(x)$\)

![[Pasted image 20211024163316.png]]

Allgemeine Produktregel#

Allgemein gilt für die Ableitung eines Produktes aus $n$ Faktoren. \($f(x)=u_1\ast u_2\ast ...\ast u_n\Rightarrow f^{\prime }(x)=u_1^{\prime }\ast u_2\ast ...u_n+u_1\ast u_2^{\prime }\ast ..\ast u_n+...+u_1\ast u_2\ast ...\ast u_n^{\prime }$\) So wäre: $(uvw{)}^{\prime }=u^{\prime }vw+u{v}^{\prime }w+uv{w}^{\prime }$ und $(uvwz{)}^{\prime }=u^{\prime }vwz+u{v}^{\prime }wz+uv{w}^{\prime }z+uvw{z}^{\prime }$

Quotientenregel#

![[Pasted image 20211024164435.png]]

Kettenregel#

Unter der Verkettung der Funktionen $g$ und $h$ versteht man die Nacheinanderausführung der Funktionen. Man wendet die äussere Funktion $g$ auf das Ergebnis der inneren Funktion $h$. Also von innen nach aussen. $f(x)=g(h(x))⟺f(x)=(g\circ h)(x)$

Man setzt für die innere Funktion: $z=h(x)$ so dass sich für die äussere Funktion $f=g(z)=g(h(x))$

![[Pasted image 20211024170605.png]]

Ableitung der Exponentialfunktion#

\($f(x)=e^{g(x)}\Rightarrow f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\ast e^{g(x)}$\)

![[Pasted image 20211024171328.png]]

Ableitung der Logarithmusfunktion#

\($f(x)=lo{g}_a(x)\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ast ln(a)}$\) wenn $f(x)=ln(x)\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

![[Pasted image 20211024171755.png|100]]

Ableitung der Umkehrfunktion#

Die Funktion $f(x)$ sei differenzierbar mit der Ableitung $f^{\prime }(x)$ und besitzt die Umkehrfunktion $x=g(y)$. Die Ableitung der Umkehrfunktion $g(y)$ ist \($g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$\)

![[Pasted image 20211024172038.png]]