Kurvendiskussion anhand von Ableitungen#

Monotonie#

Die erste Ableitung an der Stelle $x_0$ beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion $f$ in der unmittelbaren Umgebung der Stelle $x_0$ \($\text{Unknown environment 'dcases'}$\) ![[Pasted image 20211024212936.png]]

![[Pasted image 20211024213308.png]]

Krümmung#

![[Pasted image 20211024213445.png]] Die zweite Ableitung an der Stelle $x_0$ be-schreibt das Krümmungsverhalten einer Funktion $f$ in der unmittelbaren Umgebung der Stelle $x_0$: \($\text{Unknown environment 'dcases'}$\)

Konkav#

Ist $f^{″}(x)<0\Rightarrow f^{\prime }(x)$ ist streng monoton fallend $\Rightarrow f(x)$ ist konkav (Rechtsgekrümmt).

Konvex#

Ist $f^{″}(x)>0\Rightarrow f^{\prime }(x)$ ist streng monoton wachsend $\Rightarrow f(x)$ ist konvex (linksgekrümt).

Extremwerte#

Lokales Maximum#

Ist $f^{\prime }(x_0)=0und{f}^{″}(x_0)<0$, dann ist x_0 ein lokales Maximum.

Lokales Minimum#

Ist $f^{\prime }(x_0)=0und{f}^{″}(x_0)>0$, dann ist x_0 ein lokales Minimum.

![[Pasted image 20211024220630.png]]

Wendepunkte und Sattelpunkte#

![[Pasted image 20211024220732.png]] Ist $f^{″}(x_0)=0und{f}^{‴}(x_0)\ne 0$, dann ist $x_0$ ein Wendepunkt. Wenn zusätzlich noch $f^{\prime }(x_0)=0$, dann ist $x_0$ zusätzlich noch ein Sattelpunkt.

![[Pasted image 20211024220936.png]]