Kurvendiskussion anhand von Ableitungen#

Monotonie#

Die erste Ableitung an der Stelle \(x_0\) beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion \(f\) in der unmittelbaren Umgebung der Stelle \(x_0\) \(\(f'(x_0)=\begin{dcases} <0 \Rightarrow \text{Funktion fällt, streng monoton fallend} \\ >0 \Rightarrow \text{Funktion wächst, streng monoton wachsend} \end{dcases}\)\) ![[Pasted image 20211024212936.png]]

![[Pasted image 20211024213308.png]]

Krümmung#

![[Pasted image 20211024213445.png]] Die zweite Ableitung an der Stelle \(x_0\) be-schreibt das Krümmungsverhalten einer Funktion \(f\) in der unmittelbaren Umgebung der Stelle \(x_0\): \(\(f''(x_0)=\begin{dcases} <0 \Rightarrow \text{Rechtskrümmung, Steigung nimmt ab} \\ <0 \Rightarrow \text{Linkskrümmung, Steigung nimmt zu}wachsend} \end{dcases}\)\)

Konkav#

Ist \(f''(x) < 0 \Rightarrow f'(x)\) ist streng monoton fallend \(\Rightarrow f(x)\) ist konkav (Rechtsgekrümmt).

Konvex#

Ist \(f''(x) > 0 \Rightarrow f'(x)\) ist streng monoton wachsend \(\Rightarrow f(x)\) ist konvex (linksgekrümt).

Extremwerte#

Lokales Maximum#

Ist \(f'(x_0)=0 und f''(x_0)<0\), dann ist x_0 ein lokales Maximum.

Lokales Minimum#

Ist \(f'(x_0)=0 und f''(x_0)>0\), dann ist x_0 ein lokales Minimum.

![[Pasted image 20211024220630.png]]

Wendepunkte und Sattelpunkte#

![[Pasted image 20211024220732.png]] Ist \(f''(x_0)=0 und f'''(x_0)\neq 0\), dann ist \(x_0\) ein Wendepunkt. Wenn zusätzlich noch \(f'(x_0)=0\), dann ist \(x_0\) zusätzlich noch ein Sattelpunkt.

![[Pasted image 20211024220936.png]]