Integralrechnung#

In der Differentialrechnung ist eine Funktion \(f\) gegeben und deren Ableitung \(f′\) gesucht. In der Integralrechnung ist es genau anders herum. Die Ableitung \(f′\) ist gegeben und die Funktion \(f\) wird gesucht. Z.B. Wenn \(f'(x)=2x\) ist dann wissen wir das \(f(x)=x^2\) ist. Die gesuchte Funktion beim integrieren wird auch oft als die Stammfunktion \(F\) genannt, beachte hier ist es ein Grossbuchstabe. Wir sehen also, dass das Integrieren die Umkehrfunktion zum Ableiten.

\[F(x)=f(x)=\int{f'(x)\,dx}\]

Zu unserem oberen Beispiel können wir auch noch eine Konstante \(C\) hinzufügen und es ist immernoch eine Stammfunktion also

\[f(x)=x^2+3 \Rightarrow f'(x)= 2x\]

Wir können also sehen, dass es zu jeder stetigen Funktion \(f(x)\) unendlich viele Stammfunktionen gibt. Das heisst dann wiederum, dass zwei beliebige Stammfunktionen \(F_1(x)-F_2()=Konstante\) sich nur um eine Konstante unterscheiden. Wir beschreiben also die Menge aller Stammfunktionen als

\[F(x)=F_1(x)+C\]