Integration durch Partialbruchzerlegung#

Integration durch Partialbruchzerlegung ist eine spezielle Integrationsmethode die für echt gebrochen rationale Funktionen entwickelt wurde. Ist eine Funktion unecht gebrochen, muss sie zuerst in eine ganzrationale und eine echt gebrochen rationale Funktionen zerlegt werden mit der Polynomdivision. Diese Umwandlung ist immer möglich.

Ein Video zu der Polynomdivision gibt es hier

Ist der Grad \(m\) des Nenners größer als der Grad \(n\) des Zählers, so heißt die rationale Funktion \(f(x)\) echt gebrochen.

\[\text{echt gebrochene Funktion: }f(x)=\frac{x^3+x^2+x+1}{x^4+3x+3}\]

\[\text{unecht gebrochene Funktion: }f(x)=\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2+5x+1}\]

Im Nenner sollte ausserdem eine Linearfaktorzerlegung sein. Ist dies nicht der Fall kann dies schnell erreicht werden, indem man die Nullstellen herausfindet.

Ein Video zu der Linearfaktorzerlegung gibt es hier

Danach kann die Partialbruchzerlegung einfach gemacht werden und von jedem partiellen Bruch das Integral berechnen dank der Summenregel.

Ein Video zu dem ganzen Prozess findest du hier