Komplexe Zahlen Cheatsheet#

Allgemeines#

Imaginäre Einheit#

\[i=\sqrt{-1}, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i, i^{k+4n}=i^k\]

Kartesische Form/arithmetische Form/algebraische Form#

\(z=a+bi\) mit \(a,b \in \mathbb{R}\). Besteht aus dem Realteil, \(a=Re(z)=\Re(z)\) und dem Imaginärteil, \(b=Im(z)=\Im(z)\).

Menge der komplexen Zahlen#

\[\mathbb{C}=\{z|z=a+bi\text{ mit }a,b \in \mathbb{R}\}\]

Gleichheit von komplexen Zahlen#

Komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile gleich sind

\[a+bi=c+di \iff a=c \land b=d\]

Komplexe/Gauss'sche Zahlenebene#

Eine eindeutige Abbildung und Identifikation von komplexen Zahlen als Punkt.

\[f: \mathbb{C} \to \mathbb{R}^2, a+bi \mapsto (a,b)\]

Betrag einer komplexe Zahl#

Die Entfernung des Punktes vom Ursprung/Länge des Zeigers.

\[r=|z|=|a+bi|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}\]

Argument einer komplexen Zahl#

Der Winkel des Zeigers gegenüber der x-Achse.

\[\varphi=\arg(z)=\arg(a+bi)= \begin{cases} \arctan(\frac{b}{a}) &a > 0 \\ \pi + \arctan(\frac{b}{a}) &a < 0 \\ \frac{\pi}{2} &a=0,b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} &a=0,b < 0 \\ \text{undefined} &a=0,b=0 \end{cases}\]

Oder auch kürzer aber weniger verbreitet

\[\varphi=arg(z)=\arg(a+bi)= \begin{cases} \arccos(\frac{a}{r}) &\text{für } b \geq 0 \\ -\arccos(\frac{a}{r}) &\text{für } b < 0 \end{cases}\]

Polarform#

Mit dem Betrag und dem Argument kann eine komplexe Zahl auch im Polar Koordinatensystem angezeigt werden.

Goniometrische Form#

Aus der Umrechnung vom kartesischen ins polare bemerkten wir, dass wir auch anders komplexe Zahlen eindeutig schreiben und identifizieren können

\[z=r(\cos(\varphi) + i \sin(\varphi))=r \text{ cis}(\varphi)\]

wobei \(r=|z| \in \mathbb{R}_0^+\) und \(\varphi=\arg(z) \in [0,2\pi)\).

Exponential/Euler Form#

Aus den Potenzreihen von \(e^x,\sin(x)\)und\(\cos(x)\) kann die eulersche Form gebildet werden

\[e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)=\text{cis}(x)\]

Operationen#

Negation#

Die Negation entspricht einer Spiegelung am Ursprung in der komplexen Ebene, wenn \(z= a+bi\) dann ist \(-z=-a-bi\).

Komplexe Konjugation#

Die komplexe Konjugation ist die negation nur des Imaginärteil und entspricht einer Spiegelung an der x-Achse, wenn \(z=a+bi\) dann ist die komplexe Konjugation davon \(\overline{z}=a-bi\)

Addition/Subtraktion#

Die Addition/Subtraktion wird am besten in der kartesischen Form gemacht, dabei werden die zwei Zeiger wie Vektoren addiert/subtrahiert.

\[s=z_1 + z_2=(a+bi)\pm (c+di)=(a \pm c) + i(c\pm d)\]

Multiplikation#

Die Multiplikation kann in allen Formen gemacht werden. Aber am schnellsten und einfachsten geht es in der Goniometrische oder Euler Form gemacht, weil in der kartesischen Form es bei mehr als zwei Faktoren sehr kompliziert wird.

Kartesische Form: \(z_1 \cdot z_2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd) + i(ad+bc)\)
Goniometrische Form: \(z_1 \cdot z_2 = (r_1 \text{cis}(\varphi_1))(r_2 \text{cis}(\varphi_2))=r_1r_2\text{cis}(\varphi_1 + \varphi_2)\)
Euler Form: \(z_1 \cdot z_2 = r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2}=r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}\)

Potenzieren#

Mit der allgemeinen binomischen Formel können wir mit der kartesischen Form sehr aufwändig potenzieren. Weil die Multiplikation aber so viel einfacher in den anderen Formen ist, ist das Potenzieren in den anderen Formen auch viel einfacher.

Kartesische Form: \(z^n=(a +bi)^n = \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k} a^{n-k}(bi)^k}\)
Goniometrische Form: Mit dem Satz von Moivre \(z^n= (r \text{ cis}(\varphi))^n=r^n \text{ cis}(n\varphi)\)
Euler Form: \(z^n=(re^{i\varphi})^n=r^n e^{in\varphi}\)

Division#

Die Division geht auch in allen Formen aber wie bei der Multiplikation, macht man sie am besten nicht in der kartesischen Form.

Kartesische Form: \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2} +i \frac{bc-ad}{c^2+d^2}\)
Goniometrische Form: \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1 \text{cis}(\varphi_1)}{r_2 \text{cis}(\varphi_2)}=\frac{r_1}{r_2} \text{cis}(\varphi_1 - \varphi_2)\)
Euler Form: \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\varphi_2}}=\frac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}\)

Radizieren#

Das radizieren ist schwieriger mit komplexen Zahlen als mit reelen Zahlen. Glücklicherweise ist das Radizieren die Umkehrfunktion vom Potenzieren und wir können Wurzeln zu Potenzen umschreiben wie z.B. \(\sqrt[4]{x}=(x)^{\frac{1}{4}}\), also können wir wie dort vorgehen. Nur mussten wir beim potenzieren die Periodizität der Kosinus und Sinusfunktion nicht beachten, beim radizieren jedoch schon, weil \(\cos(\frac{\varphi+2\pi k}{n})\) für \(k=0,1,...,n-1\) genau n unterschiedliche Werte ergibt. Die unteren Formeln können wir natürlich auch in die goniometrische Form umschreiben.

\[\sqrt[n]{re^{i\varphi}}=\sqrt[n]{r}(\cos(\frac{\varphi}{n})+i \sin(\frac{\varphi}{n}))=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\varphi}{n}}\]

Um dann alle Lösungen zu berechnen verwenden wir die folgende Formel

\[z_k=\sqrt[n]{r} e^{i(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi k}{n})}\]

wobei \(k=0,1,...n-1\) und wir die Lösung \(z_0\) der Hauptwert der Wurzel nennen.

Logarithmieren#

Dank der Exponential/Euler Form können wir nun auch logarithmieren.

\[\ln(z)=\ln(re^{i\varphi})=\ln(r)+i\varphi\]

Falls nicht der natürliche Logarithmus verwendet wird kann man eine Basiswechsel zum Schluss machen.

\[\log_2(2e^{i\frac{7\pi}{4}})=\frac{\ln(2e^{i\frac{7\pi}{4}})}{\ln(2)}=1+i\frac{\frac{7\pi}{4}}{ln(2)}\]

Komplexe Zahlen im Exponenten#

Wir können auch Probleme lösen wo die Komplexe Zahl als Exponent verwendet wird.

\[e^{1+\pi i}=e^1e^{\pi i}=e e^{(\pi i)}\]

\[2^i=e^{\ln(2^i)}=e^{i \ln(2)}\]