Fourier-Reihen#

Reele Darstellung#

Mit Periode 2 Pi#

Wir wollen eine periodische Funktion $f (x)$ mit der Periode $T = 2 π$ mit einer Überlagerung von trigonometrischen Funktionen annähern. Mit einer sog. Fourier-Reihe der folgenden Form

\hat{f} (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cdot c o s (n x) + b_{n} \cdot s i n (n x)

Dafür müssen die sog. Fourierkoeffizienten so gewählt werden, dass es die Funktion am besten annähert. Diese kann man auch berechnen

\begin{aligned} a_{0} & = \frac{1}{π} \cdot \int_{0}^{2 π} f (x) d x \\ a_{n} & = \frac{1}{π} \cdot \int_{0}^{2 π} f (x) \cdot c o s (n x) d x \\ b_{n} & = \frac{1}{π} \cdot \int_{0}^{2 π} f (x) \cdot s i n (n x) d x \\ n & = 1, 2, 3, . . . \end{aligned}

Gerade Funktion#

Wenn die Funktion $f (x)$ die wird approximieren gerade ist, also $f (- x) = f (x)$ so können wir die Berechnung von den Sinusglieder sparen. Die Fourier-Reihe hat dann nurnoch die folgende Form

\hat{f} (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cdot c o s (n x)

Ungerade Funktion#

Bei ungeraden Funktion, also wenn $f (- x) = - f (x)$ können wir ähnlich die Kosinusglieder weglassen.

\hat{f} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \cdot s i n (n x)

Rechteckkurve#

Wir wollen eine Fourier-Reihe der Rechteckskurve mit der Periode $T = 2 π$ bilden.

f (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq π \\ - 1 & π < x < 2 π \end{cases}

rechteckkurve

Die Funktion ist ungerade also können wir uns das Leben einfacher machen. das interessante ist bei der Berechnung das wir das Integral aufspalten können

\begin{aligned} b_{n} & = \frac{1}{π} \cdot \int_{0}^{2 π} f (x) \cdot s i n (n x) d x \\ = \frac{1}{π} [\int_{0}^{π} 1 \cdot s i n (n x) d x + \int_{π}^{2 π} (- 1) \cdot s i n (n x) d x] \end{aligned}

Mit Periode T#

Nicht immer ist unsere Periode $2 π$ deshalb wollen wir eine allgemeine Formulierung für eine Periode mit dem Wert T. Wichtig ist hier das $T = \frac{2 π}{ω_{0}}$ und \omega_0 die sog. Kreisfrequenz der Schwingung ist.

\hat{f} (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cdot c o s (n ω_{0} x) + b_{n} \cdot s i n (n ω_{0} x)

Daraus folgt dann

\begin{aligned} a_{0} & = \frac{2}{T} \cdot \int_{(T)} f (x) d x \\ a_{n} & = \frac{2}{T} \cdot \int_{(T)} f (x) \cdot c o s (n ω_{0} x) d x \\ b_{n} & = \frac{2}{T} \cdot \int_{(T)} f (x) \cdot s i n (n ω_{0} x) d x \\ n & = 1, 2, 3, . . . \end{aligned}

Wichtig dabei ist zu beachten, dass das Integrationsinterval die Länge der Periode hat.

Komplexe Darstellung#

Mit Periode 2 Pi#

Dank der Euler-Formel können wir die Fourier-Reihe auch in komplexer Form darstellen dafür müssen wir folgendes beachten

c o s (n x) = \frac{1}{2} (e^{i n x} + e^{- i n x})

s i n (n x) = \frac{1}{2} i (e^{i n x} + e^{- i n x})

Wir können so dann die Fourier-Reihe und die Koeffizienten Berechnung viel kürzer schreiben.

\begin{aligned} \hat{f} & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} \cdot e^{i n x} \\ c_{n} & = \frac{1}{2 π} \cdot \int_{0}^{2 π} f (x) \cdot e^{- i n x} d x \\ n & = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, . . . \end{aligned}

Mit Periode T#

Auch hier können wir die Formel umschreiben damit wir eine beliebige Periode $T$ verwenden können.

\begin{aligned} \hat{f} & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} \cdot e^{i n ω_{0} x} \\ c_{n} & = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T} f (x) \cdot e^{- i n ω_{0} x} d x \\ n & = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, . . . \end{aligned}

Zusammenhang reele und komplexe Darstellung#

Wir können die Koeffizienten von der einen Darstellung in die andere Darstellung umrechnen mit den folgenden Formeln

Reele zu komplexe#

c_{0} = \frac{1}{2} a_{0}, c_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} - i b_{n}), c_{- n} = \frac{1}{2} = (a_{n} + i b_{n})

Komplexe zu reele#

a_{0} = 2 c_{0}, a_{n} = c_{n} + c_{- n}, b_{n} = i (c_{n} - c_{- n})