Trigonometrische Funktionen#
Einheitskreis#
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit einem Radius von 1 und dessen Mittelpunkt am Ursprung ist. Was auch heisst das jeder Punkt auf diesem Kreis genau 1 vom Ursprung entfernt ist.
Quadrante#
Oftmals wird der Einheitskreis auch in 4 Teile geschnitten, die sogenannten Quadrante, welche durchnummeriert sind von 1 bis 4 beginnend mit oben rechts.
Grad#
Der Grad ist ein Winkelmass, das Gradmass. Beim Gradmass wird ein Kreis in 360 Teile geschnitten, 1 Grad entspricht also einem dieser Teile. Ein Kreis entspricht also 360 Grad.
Radian#
Der Radian ist ein ein Winkelmass, das Bogenmass. Beim Bogenmass betrachten wir die Länge des Bogens auf einem Kreis. 1 Radian entspricht einem Radius als Bogen. Der Umfang eines Kreises entspricht \(2\pi r\) was dann auch 360 Grad entspricht. Weil der Radius des Einheitskreises 1 ist entspricht dann der Umfang des Einheitskreises \(2\pi\).
Umrechnen Grad und Radian#
Wir können zwischen den 2 Winkelmasse wie gefolgt rechnen. - Grad zu Radian: \(x=\alpha \cdot \frac{\pi}{180}\) - Radian zu Grad: \(\alpha=x \cdot \frac{180}{\pi}\)
Winkel im Dreieck#
Rechtwinklig#
Bei einem rechtwinkligem Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit einem rechten Winkel (90 Grad).
Wir bezeichnen die längste Seite als Hypotenuse. Diese Seite ist auch gegenüber vom rechten Winkel.
Die kürzeren Seiten nennen wir Katheten. In Bezug auf einen bestimmten Winkel (im Bild \(\alpha\)) unterscheidet man die Ankathete (die dem Winkel anliegende Kathete, b) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete, a).
Der Satz von Pythagoras besagt auch, dass die Länge der Hypotenuse die Summe der quadrierten Längen der Katheten ist. \(a^2 + b^2=c^2\)
$$ \begin{align*} \text{Sinus von }\alpha &=\sin(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &=\frac{\text{G}}{\text{H}}& \
\text{Kosinus von }\alpha &=\cos(\alpha)=\frac{b}{c}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} &=\frac{\text{A}}{\text{H}}& \
\text{Tangens von }\alpha &=\tan(\alpha)=\frac{a}{b}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &=\frac{\text{G}}{\text{A}}& \
\text{Kosekans von }\alpha &=\csc(\alpha)=\frac{c}{a}=\frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}&=\frac{\text{H}}{\text{G}}&=\frac{1}{\sin(\alpha)} \
\text{Sekans von }\alpha &=\sec(\alpha)=\frac{c}{b}=\frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} &=\frac{\text{H}}{\text{A}}&=\frac{1}{\cos(\alpha)} \
\text{Kotangens von }\alpha &=\cot(\alpha)=\frac{b}{a}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} &=\frac{\text{A}}{\text{G}}&=\frac{1}{\tan(\alpha)} \end{align*} $$
Weil im Einheitskreis die Hypotenuse, \(c\) immer 1 ist lassen sich alle Funktionen vereinfachen und wir können folgendes daraus entnehemen
