Unabhängige Zufallsvariablen#

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen#

Eine unendliche Folge von Zufallsvariablen heisst stochastisch unabhängig, wenn jede endliche Teilfolge davon stochastisch unabhängig ist.

\[P(X_1 \in A_1,...X_n \in A_n)=P(X_1 \in A_1) \cdot ... \cdot P(X_n \in A_n)\]

Beispiel Abhängigkeit von Zufallsvariablen

Wir würfeln mit einem fairen Würfel dreimal. Die Zufallsvariable \(X\) zählt die Anzahl an gewürfelten Einsen. Die Zufallsvaraible \(Y\) zählt die Anzahl an Vieren in den ersten 2 Würfe.

Dann sind \(X\) und \(Y\) nicht stochastisch unabhängig, weil

\[P(X=3,Y=2)=0 \neq P(X=3)\cdot P(Y=2)\]

Beispiel Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Person A kommt zu einem zufälligen Zeitpunkt zwischen 12:00 und 12:45, Person B unabhängig davon zwischen 12:15 und 13:00 in ein Café.

X: Ankunftszeit von Person A \(X \sim U[0,45]\)
Y: Ankunftszeit von Person B \(Y \sim U[15,60]\)

\[P(X\leq 30,Y\leq 30)=\]

Faltung#

Diskrete Zufallsvariablen#

Es seien \(X, Y\) unabhängige diskrete Zufallsvariablen und Zähldichten \(f_X, f_Y\) Dann hat die Summe \(X+Y\) die Zähldichte

\[f_{X+Y}(z)=\sum_{x_i \in X}{f_X(x_i) \cdot f_y(z-x_i)}\]

Daraus können wir auch folgendes ableiten

\[X\sim Poi(\lambda_1), Y \sim Poi(\lambda_2) = X+Y \sim Poi(\lambda_1 + \lambda_2)\]

\[X\sim Bin(n_1,p), Y \sim Bin(n_2,p) = X+Y \sim Bin(n_1+n_2,p)\]

Stetige Zufallsvariablen#

\[f_{X+Y}(z)=\int_{x_i=-\infty}^{\infty}{f_X(x_i) \cdot f_y(z-x_i) dx}\]

Additionstheorem Normalverteilung#

Es seien \(X_1, X_2,...,X_n\) unabhängige, normal verteilte Zufallsvariablen eines Zufalls-experimentes mit Erwartungswerten \(\mu_i\) und Standardaweichungen \(\sigma_i\), mit \(a_i, a_2,...,a_n \in \mathbb{R}\) dann ist

\[Y=a_i X_1 + a_2 X_2 +...+a_n X_n\]

mit dem Erwartungswert \(a_i \mu + a_2 \mu +...+a_n \mu\) und die Varianz \(a_i^2 \sigma^2 + a_2^2 \sigma^2 +...+a_n^2 \sigma^2\)