Unabhängige Zufallsvariablen#

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen#

Eine unendliche Folge von Zufallsvariablen heisst stochastisch unabhängig, wenn jede endliche Teilfolge davon stochastisch unabhängig ist.

P (X_{1} \in A_{1}, . . . X_{n} \in A_{n}) = P (X_{1} \in A_{1}) \cdot . . . \cdot P (X_{n} \in A_{n})

Beispiel Abhängigkeit von Zufallsvariablen

Wir würfeln mit einem fairen Würfel dreimal. Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl an gewürfelten Einsen. Die Zufallsvaraible $Y$ zählt die Anzahl an Vieren in den ersten 2 Würfe.

Dann sind $X$ und $Y$ nicht stochastisch unabhängig, weil

P (X = 3, Y = 2) = 0 \neq P (X = 3) \cdot P (Y = 2)

Beispiel Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Person A kommt zu einem zufälligen Zeitpunkt zwischen 12:00 und 12:45, Person B unabhängig davon zwischen 12:15 und 13:00 in ein Café.

X: Ankunftszeit von Person A $X \sim U [0, 45]$
Y: Ankunftszeit von Person B $Y \sim U [15, 60]$

P (X \leq 30, Y \leq 30) =

Faltung#

Diskrete Zufallsvariablen#

Es seien $X, Y$ unabhängige diskrete Zufallsvariablen und Zähldichten $f_{X}, f_{Y}$ Dann hat die Summe $X + Y$ die Zähldichte

f_{X + Y} (z) = \sum_{x_{i} \in X} f_{X} (x_{i}) \cdot f_{y} (z - x_{i})

Daraus können wir auch folgendes ableiten

X \sim P o i (λ_{1}), Y \sim P o i (λ_{2}) = X + Y \sim P o i (λ_{1} + λ_{2})

X \sim B i n (n_{1}, p), Y \sim B i n (n_{2}, p) = X + Y \sim B i n (n_{1} + n_{2}, p)

Stetige Zufallsvariablen#

f_{X + Y} (z) = \int_{x_{i} = - \infty}^{\infty} f_{X} (x_{i}) \cdot f_{y} (z - x_{i}) d x

Additionstheorem Normalverteilung#

Es seien $X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}$ unabhängige, normal verteilte Zufallsvariablen eines Zufalls-experimentes mit Erwartungswerten $μ_{i}$ und Standardaweichungen $σ_{i}$ , mit $a_{i}, a_{2}, . . ., a_{n} \in R$ dann ist

Y = a_{i} X_{1} + a_{2} X_{2} + . . . + a_{n} X_{n}

mit dem Erwartungswert $a_{i} μ + a_{2} μ + . . . + a_{n} μ$ und die Varianz $a_{i}^{2} σ^{2} + a_{2}^{2} σ^{2} + . . . + a_{n}^{2} σ^{2}$