Grenzwertsätze#
Ungleichung von Tschebyscheff#
Wenn
daraus folgt dann auch
Beispiel Ungleichung von Tschebyscheff
Für die Grösse einer erwachsenen Personen haben wir einen Erwartungswert von 175cm und eine Standardabweichung von 10cm. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person kleiner als 160cm oder grösser als 190cm ist.
Abschätzung mit Tschebyscheff:
Tatsächlich mit Normalverteilung:
Mehr dazu findest du hier
Gesetz der grossen Zahlen#
Wir wissen wenn wir eine Zufallsvariable
Was so viel heisst wie wenn desto mehr unabhängige Experimente wir ausführen desto besser stabilisiert sich die relative Häufigkeit um den Erwartungswert.
Mehr dazu findest du hier
Zentraler Grenzwertsatz#
Der zentrale Grenzwertsatz liefert die Begründung für das Phänomen, dass sich bei der additiven Überlagerung vieler kleiner unabhängiger Zufallsexperiment approximativ zu einer Normalverteilung wird.
Wenn wir also eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen
Diese Verteilung kann dann natürlich auch noch standardisiert werden.
Satz von Moivre-Laplace#
Weil eine Binomialverteilte Zufallsvariable
Mit dem Satz können wir für
Genauer wird es dann mit der Stetigkeitskorrektur
Beispiel Satz von Moivre-Laplace
Ein fairer Würfel wirf 1000 mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir zwischen 150 und 200 sechs würfeln?
Genau:
Mit Satz von Moivre-Laplace:
Simulation von Zufallsvariablen#
Manchmal ist es nur mit grossem Aufwand Wahrscheinlichkeiten zu exakt berechnen. Eine Lösung für dieses Problem ist die Zufallsvariable zu simulieren, also Zahlen zu erzeugen die korrekt verteilt sind und dann schauen, welcher Prozentsatz dieser Zahlen im gesuchten Ereignis liegen. Dank dem Gesetz der grossen Zahlen wird diese Wahrscheinlichkeit genauer mit wachsender Anzahl an Wiederholungen.
In den meisten Programmiersprachen ist der sogenannte lineare Kongruenzgenerator eingebaut welcher ein Pseudozufallszahlengenerator ist. Das heisst er erzeugt die Zahlen nicht wirklich zufällig sondern berechnet sie anhand eines Startwerts, der sogenannte Seed (oftmals die Systemzeit).
Für kryptographische Zwecke wie Schlüsselerzeugung sind Pseudozufallszahlengenerator nicht geeinigt, weil mit wenigen Werten kann man die verwendete Parameter berechnen und kann dann die Zufallsvariablen voraus sehen.
Linearer Kongruenzgenerator#
Beim linearen Kongruenzgenerator haben wir ein sogenanntes modul
Wir erhalten dann einen Wert aus dem endlichen Bereich
Der Satz von Knuth besagt, damit die Periodenlänge maximal ist, also
Durch eine Transformation bekommen wir auch nur noch Werte im Intervall
Die Werte
Inversionsmethode#
Wir können nun unsere Zufallszahlen auf eine bestimmte Verteilung abbilden mit der Inversionsmethode.
Es sei