Integration durch Substitutionen#

Bei der Integration durch Substitutionen wollen wir mit Hilfe von geeigneten Variabel-Substitutionen das Integral vereinfachen oder wenn möglich sogar zu einem Grundintegral umwandeln.

Am besten können wir diese Methode verwenden wenn wir den folgenden Fall haben

\int f (x) d x = \int f (g (x)) \cdot g (x)^{'} d x

also wenn wir eine Verkettung von Funktionen haben und die innere Funktion abgeleitet im Integral vorkommt. Ein häufiges Beispiel ist

\int x \cdot e^{x^{2}}

weil es nicht normalerweise lösbar ist. Hier ist $g (x) = x^{2}$ was abgeleitet zu $g^{'} (x) = 2 x$ wird wir haben aber nur $x$ nicht $2 x$ . Grund dafür ist die Faktorregel welche besagt das wir die 2 ja herausnehmen können, deshalb können wir Konstanten bei der obigen Voraussetzung ignorieren.

Der erste Schritt haben wir schon gemacht wir haben unsere variable zum Substituieren identifiziert $u = x^{2}$ . Wir müssen aber alles was mit der alten Variable zu tun haben ersetzen, inklusive das $d x$ . Um dies zu erreichen benutzen wir noch die folgende Formel $d x = \frac{d u}{u^{'}} = \frac{d u}{2 x}$ .

Nun können wir in der Formel alles ersetzen

\int x \cdot e^{x^{2}} = \int x \cdot e^{u} \frac{d u}{2 x}

Dank der obigen Voraussetzung lässt sich das vordere $x$ wegkürzen.

\int \frac{e^{u} d u}{2} = \int \frac{1}{2} \cdot e^{u} d u = \frac{1}{2} \int e^{u} d u

Nun haben wir ein Grundintegral und wir wissen das $e^{u}$ abgeleitet/integriert $e^{u}$ bleibt können wir das Integral lösen

\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{u} + C

Oftmals will man noch die originale Variable beibehalten, dafür macht man dann eine Rücksubstitution.

\frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C

Integration durch Substitutionen eines bestimmten Integrals#

Bei einem bestimmten Integral gehen wir genau gleich vor wie bei einem unbestimmten jedoch haben wir noch 2 weitere Schritte. Zwar müssen wir die Grenzen auch ersetzen und am Schluss dann das Integral ausrechnen. Dafür verwenden wir das folgende Beispiel

\int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}

Wir setzen $u = 1 + x^{2}$ und somit auch $d x = \frac{d u}{x^{'}} = \frac{d u}{2 x}$

Nun müssen wir die Grenzen noch ersetzen. Für die untere Grenze ist $x = 0$ und somit dann $u = 1 + 0^{2} = 1$ . Für die obere Grenze $x = 1$ und somit $u = 1 + 1^{2} = 2$ . Nun können wir alles ersetzen.

\int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} = \int_{u = 1}^{u = 2} x \cdot \sqrt{u} \frac{d u}{2 x} = \int_{1}^{2} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{u} d u = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (u)^{\frac{1}{2}} d u

Weil $(\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}})^{'} = (u)^{\frac{1}{2}}$ können wir schreiben

\frac{1}{2} \cdot | \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} |_{1}^{2} = \frac{1}{3} \cdot | \sqrt{u^{3}} |_{1}^{2} = \frac{1}{3} (\sqrt{8} - 1)