Integration durch Substitutionen#

Bei der Integration durch Substitutionen wollen wir mit Hilfe von geeigneten Variabel-Substitutionen das Integral vereinfachen oder wenn möglich sogar zu einem Grundintegral umwandeln.

Am besten können wir diese Methode verwenden wenn wir den folgenden Fall haben

\[\int{f(x)\,dx}=\int{f(g(x))\cdot g(x)'\,dx}\]

also wenn wir eine Verkettung von Funktionen haben und die innere Funktion abgeleitet im Integral vorkommt. Ein häufiges Beispiel ist

\[\int{x\cdot e^{x^2}}\]

weil es nicht normalerweise lösbar ist. Hier ist \(g(x)=x^2\) was abgeleitet zu \(g'(x)=2x\) wird wir haben aber nur \(x\) nicht \(2x\). Grund dafür ist die Faktorregel welche besagt das wir die 2 ja herausnehmen können, deshalb können wir Konstanten bei der obigen Voraussetzung ignorieren.

Der erste Schritt haben wir schon gemacht wir haben unsere variable zum Substituieren identifiziert \(u=x^2\). Wir müssen aber alles was mit der alten Variable zu tun haben ersetzen, inklusive das \(dx\). Um dies zu erreichen benutzen wir noch die folgende Formel \(dx=\frac{du}{u'}=\frac{du}{2x}\).

Nun können wir in der Formel alles ersetzen

\[\int{x\cdot e^{x^2}}=\int{x\cdot e^u\, \frac{du}{2x}}\]

Dank der obigen Voraussetzung lässt sich das vordere \(x\) wegkürzen.

\[\int{\frac{e^u\,du}{2}}=\int{\frac{1}{2}\cdot e^u\,du}=\frac{1}{2}\int{e^u\,du}\]

Nun haben wir ein Grundintegral und wir wissen das \(e^u\) abgeleitet/integriert \(e^u\) bleibt können wir das Integral lösen

\[\frac{1}{2}\int{e^u\,du}=\frac{1}{2}e^u +C\]

Oftmals will man noch die originale Variable beibehalten, dafür macht man dann eine Rücksubstitution.

\[\frac{1}{2}e^u +C=\frac{1}{2}e^{x^2} +C\]

Integration durch Substitutionen eines bestimmten Integrals#

Bei einem bestimmten Integral gehen wir genau gleich vor wie bei einem unbestimmten jedoch haben wir noch 2 weitere Schritte. Zwar müssen wir die Grenzen auch ersetzen und am Schluss dann das Integral ausrechnen. Dafür verwenden wir das folgende Beispiel

\[\int_{0}^{1}{x\cdot \sqrt{1+x^2}}\]

Wir setzen \(u=1+x^2\) und somit auch \(dx=\frac{du}{x'}=\frac{du}{2x}\)

Nun müssen wir die Grenzen noch ersetzen. Für die untere Grenze ist \(x=0\) und somit dann \(u=1+0^2=1\). Für die obere Grenze \(x=1\) und somit \(u=1+1^2=2\). Nun können wir alles ersetzen.

\[\int_{0}^{1}{x\cdot \sqrt{1+x^2}}=\int_{u=1}^{u=2}{x\cdot \sqrt{u}\,\frac{du}{2x}}=\int_{1}^{2}{\frac{1}{2}\cdot \sqrt{u}\,du}=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}{(u)^{\frac{1}{2}}\,du}\]

Weil \((\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}})'=(u)^{\frac{1}{2}}\) können wir schreiben

\[\frac{1}{2}\cdot\Big|\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\Big|_1^2=\frac{1}{3}\cdot\Big|\sqrt{u^3}\Big|_1^2=\frac{1}{3}(\sqrt{8}-1)\]